手拉手模型的两个最值问题(适合初二以上)

问题：什么是全等中的“手拉手模型”？

我们先来看一张示例图片．

国家领导人外出访问时，经常与他国领导人采用这样的握手方式，以示友好．那么下图中，AC，BC，DC，EC即可看作两个人的两双手臂，点C看作两个人握在一起的四只手，是不是很形象？

那么， “两个形状相同的图形，共用同一个顶点”，即可看作“手拉手模型”．更特殊的，符合“等线段，共顶点”的图形，也是常考的模型

这里给出三个常见模型．

最典型常见的“手拉手模型”题目如下：

案例：“某学思”初二手拉手模型的第一节的例题6

例题6如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D是BC的中点，点E在线段AD上，连结BE，在BE的下方作等边三角形BEF，连接DF，当三角形BDF的周长最小时，∠DBF的度数是________

分析：三角形BDF的周长等于BD+BF+DF，

而BD为定值，所以转化为求BF+DF的最小值。

由于点E是动点，先看看动态图：

从动态图发现，当E、D、F三点共线时，BF+DF最小，此时∠DBF=30°.但是如何证明呢？

最关键的是随着点E的运动，点F的运动轨迹是什么？

这是解决此题的关键！

而“某学思”并没有讲清楚这一点，就做了一个令学生匪夷所思的辅助线！

还是看动态图：

看到了吗，这个点F 的轨迹是一条线段！

于是问题得到了解决：

连接直线CF，作点B关于直线CF的对称点B'，则BF=B'F，即有

BF+DF=B'F+DF，

当E、D、B'三点共线时，B'F+DF最小。

此时∠DBF=30°.

另外一个例子：

即求DF+AF的最小值.

看动态图：

似乎毫无头绪！什么时候DF+AF最小？

还是一个最关键的问题：随着点E的运动，点F的运动轨迹是什么？

跟踪点F的运动，发现：

说明点F是在∠ABC的角平分线上运动（反思：如何证明这一点？）

“某学思”丝毫不说理由就作这条辅助线，这个不行的。数学不是套题型的，而是讲道理讲理由的（逻辑推理的核心素养）。千万不要给学生留下类似水稻之父袁隆平说小时候的不好的数学印象。

解决：

如上图，作点A关于直线BF的对称点A',则AF=A'F，则DF+AF=DF+A'F，

当D、F、A'三点共线时，DF+A'F最小，

此时DF+A'F=DA'=AC=根号3.

反思1：为什么学生做了大量题目而没有真正理解或搞懂数学？

参见文章：如何学好数学，兼谈海珠区2019初三一模第24题

或：自觉分析——2019海珠区一模16题的探索

反思2：手拉手模型在2017年海珠区初二数学统考时曾经作为第25题压轴题，题目如下：

题目非常漂亮，值得同学们思考和探索。